故曰少广,以坚求穿

日期:2019-09-30编辑作者:文学资讯

○方田 今有天口骈十五步,从十六步。问为田几何?答曰:一亩。

○少广 少广 〔淳风等按:一亩之田,广一步,长二百四十步。今欲截取其从少,以益其 广,故曰少广。〕 术曰:置全步及分母子,以最下分母遍乘诸分子及全步, 〔淳风等按:以分母乘全步者,通其分也;以母乘子者,齐其子也。〕 各以其母除其子,置之于左,命通分者,又以分母遍乘诸分子及已通者,皆 通而同之。并之为法。

○商功 今有穿地,积20000尺。问为坚、壤各几何?答曰:为坚七千五百尺;为壤三千0二千五百尺。

又有田骈十二步,从十四步。问为田几何?答曰:一百六十八步。

〔淳风等按:诸子悉通,故可并之为法。亦宜用合分术,列数尤多,若用乘 则算数至繁,故别制此术,从省约。〕 置所求步数,以全步积分乘之为实。

术曰:穿地四为壤五, 〔壤谓息土。〕 为坚三, 〔坚谓筑土。〕 为墟四。

〔图:从十四,广十二。〕 方田术曰:广从步数相乘得积步。

〔此以天口骈为法,以亩积步为实。法有分者,当同其母,齐其子,以同乘法 实,而并齐于法。今以分母乘全步及子,子如母而一,并以并全法,则法实俱长, 意亦等也。故如法而一,得从步数。〕 实如法而一,得从步。

〔墟谓穿坑。此皆其常率。〕 以穿地求壤,五之;求坚,三之;皆四而一。

〔此积谓田幂。凡广从相乘谓之幂。

今有田骈一步半。求田一亩,问从几何?答曰:一百六十步。

〔今有术也。〕 以壤求穿,四之;求坚,三之;皆五而一。以坚求穿,四之;求壤,五之; 皆三而一。

淳风等按:经云广从相乘得积步,注云广从相乘谓之幂。观斯注意,积幂义 同。以理推之,固当不尔。何则?幂是下边单布之名,积乃众数聚居之称。循名责实,二者全殊。虽欲同之,窃恐不可。今以凡言幂者据广从之一方;其言积者 举众步之都数。经云相乘得积步,便是都数之明文。注云谓之为幂,全乖积步之 本意。此注前云积为田幂,于理得通。复云谓之为幂,繁而不当。今者注释,存 善去非,略为料简,遗诸后学。〕 以亩法二百四十步除之,即亩数。百亩为一顷。

术曰:下有半,是四分之二。以一为二,半为一,并之,得三,为法。置田 二百四十步,亦以一为二乘之,为实。实如法得从步。

〔淳风等按:此术并今有之义也。重张穿地积10000尺,为全数数,坚率三、 壤率五各为所求率,穿率四为全数率,近年来有之,即得。〕 城、垣、堤、沟、堑、渠皆同术。

〔淳风等按:此为篇端,故特举顷、亩二法。余术不复言者,从此可知。一 亩之田,广十五步,进而疏之,令为十五行,则每行广一步而从十六步。又横而 截之,令为十六行,则每行广一步而从十五步。此即从疏横截之步,各自为方, 凡有二百四十步。一亩之地,步数正同。以此言之,则广从相乘得积步,验矣。

今有天口骈一步半、四分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:一百三十步一 十分步之一十。

术曰:并前后广而半之, 〔损广补狭。〕 以高若深乘之,又以袤乘之,即积尺。

二百四十步者,亩法也;百亩者,顷法也。故以除之,即得。〕 今有天口骈一里,从一里。问为田几何?答曰:三顷七十五亩。

术曰:下有伍分,以一为六,半为三,百分之三十三为二,并之,得一十一,为 法。置田二百四十步,亦以一为六乘之,为实。实如法得从步。

〔按:此术“并上下广而半之”者,以盈补虚,得中平之广。“以高若深乘 之”,得一头之立幂。“又以袤乘之”者,得立实之积,故为积尺。〕 今有穿地,袤一丈六尺,深一丈,上广六尺,为垣积五百七十六尺。问穿地 下广几何?答曰:三尺陆分尺之三。

又有田骈二里,从三里。问为田几何?答曰:二十二顷五十亩。

今有天口骈一步半、九分步之一、四分步之一。求田一亩,问从几何?答曰: 一百一十五步伍分步之一。

术曰:置垣积尺,四之为实。

里田术曰:广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之,即亩数。

术曰:下有五分,以一为一十二,半为六,四分一为四,四分一为三, 并之,得二十五,感到法。置田二百四十步,亦以一为一十二乘之,为实。实如 法而一,得从步。

〔穿地四,为坚三。垣,坚也。以坚求穿地,当四之,三而一也。〕 以深、袤相乘, 〔为深、袤之立实也。〕 又三之,为法。

〔按:此术广从里数相乘得积里。方里之中有三顷七十五亩,故以乘之,即 得亩数也。〕 今有十七分之十二,问约之得几何?答曰:46%。

今有天口骈一步半、五分步之一、四分步之一、四分步之一。求田一亩,问从 几何?答曰:一百五步一百三贰十分步之一十五。

〔以深、袤乘之立实除垣积,即坑广。又三之者,与坚率并除之。〕 所得,倍之。

又有九十一分之四十九,问约之得几何?答曰:拾五分之七。

术曰:下有陆分,以一为六十,半为三十,四分之一为二十,百分之三十为一 十五,33.33%为一十二,并之,得一百三十七,认为法。置田二百四十步,亦 以一为六十乘之,为实。实如法得从步。

〔为坑有两广,先并而半之,即为广狭之中平。今先得当中平,故又倍之知, 两广全也。〕 减上海人民广播广播台,余即下广。

○约分 〔按:约分者,物之数量,不可悉全,必以分言之;分之为数,繁则难用。

今有天口骈一步半、八分步之一、六分步之一、陆分步之一、四分步之一。求 田一亩,问从几何?答曰:九十七步肆二十一分步之四十七。

〔按:此术穿地四,为坚三。垣即坚也。今以坚求穿地,当四乘之,三而一。

存在十分之五者,繁来讲之,亦可为百分之五十;约来说之,则二分之一也,虽则 异辞,至于为数,亦同归尔。法实相推,动有参差,故为术者先治诸分。〕 术曰:可半者半之;不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损, 求其等也。以等数约之。

术曰:下有五分,以一为一百二十,半为六十,四成为四十,五分一为三十,三成为二十四,百分之十六为二十,并之,得二百九十四,感到法。

深、袤相乘者,为深袤立幂。以深袤立幂除积,即坑广。又三之,为法,与坚率 并除。所得,倍之者,为坑有两广,先并而半之,为中平之广。今此得中平之广, 故倍之还为两广并。故减上海人民广播广播台,余即下广也。〕 今有城下广四丈,上海人民广播广播台二丈,高五丈,袤第一百货公司二十六丈五尺。问积几何?答 曰:一百八十100000九千五百尺: 今有垣下广三尺,上海人民广播电视台二尺,高级中学一年级丈二尺,袤二十二丈五尺八寸。问积几何? 答曰:5000七百七十四尺。

〔等数约之,即除也。其之所以相减者,皆等数之重叠,故以等数约之。〕 今有四分之三,60%,问合之得几何?答曰:十四分之十一。

置田二百四十步,亦以一为一百二十乘之,为实。实如法得从步。

今有堤下广二丈,上海人民广播广播台八尺,高四尺,袤一十二丈七尺。问积几何?答曰: 7000一百一十二尺。

又有51%,捌分之四,柒分之五,问合之得几何?答曰:得一、六二十一分之五十。

今有田广一步半、柒分步之一、陆分步之一、伍分步之一、四分步之一、九分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:九十二步一百十几分步之六十八。

冬程人功四百四十四尺,问用徒几何?答曰:一14个人二百一十分人之二。

又有四分之二,半数,十分之二,80%,问合之得几何?答曰:得 二、伍十九分三十三。

术曰:下有八分,以一为四百二十,半为二百一十,三成为一百四十, 百分之六十为一百五,百分之三十为八十四,八分之一为七十,16.67%为六十,并 之,得1000八十九,认为法。置田二百四十步,亦以一为四百二十乘之,为实。

术曰:以积尺为实,程功尺数为法,实如法而一,即用徒人数。

○合分 〔淳风等按:合分知,数非一边,分无一定,诸分子杂互,群母参差。粗细 既殊,理难从一,故齐其众分,同其群母,令可相并,故曰合分。〕 术曰:母互乘子,并认为实。母相乘为法。

实如法得从步。

今有沟,上海人民广播电视台一丈五尺,下广一丈,深五尺,袤七丈。问积几何?答曰:四千三百七十五尺。

〔母互乘子。约来讲之者,其分粗;繁来说之者,其分细。虽则粗细有殊, 然其实一也。众分错杂,非细不会。乘而散之,所以通之。通之则可并也。凡母 互乘子谓之齐,群母相乘谓之同。同者,相与通同,共一母也;齐者,子与母齐, 势不可失本数也。方以类聚,物以群分。数同类者无远;数异类者无近。远而通 体知,虽异位而相从也;近而殊形知,虽同列而相违也。但是齐同之术要矣:错 综度数,动之斯谐,其犹佩觿解结,无往而不理焉。乘以散之,约以聚之,齐同 以通之,此其算之纲纪乎?其一术者,可令母除为率,率乘子为齐。〕 实如法而一。不满法者,以法命之。

今有天口骈一步半、四分步之一、四分步之一、四分步之一、四分步之一、七分步之一、七分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:八十八步七百五十八分步 之二百三十二。

春程人功七百六十六尺,并出土功五分之二,定功第六百货一十二尺四分尺之四。

〔今欲求其实,故齐其子,又同其母,令如母而一。其他以等数约之,即得 知,所谓同法为母,实余为子,皆从此例。〕 其母同者,直相从之。

术曰:下有九分,以一为八百四十,半为四百二十,伍分之一为二百八十, 百分之七十五为二百一十,33.33%为一百六十八,百分之十六为一百四十,陆分之一为一百二十,11.11%为一百五,并之,得二千二百八十三,以为法。置田二百 四十步,亦以一为八百四十乘之,为实。实如法得从步。

问用徒几何?答曰:三人叁仟六十伍分人之四百二十七。

今有八分之八,减其百分之二十五,问余几何?答曰:四十二分之三十一。

今有田骈一步半、八分步之一、四分步之一、伍分步之一、四分步之一、玖分步之一、柒分步之一、八分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:八十四步八千一百贰拾肆分步之陆仟九百六十四。

术曰:置本身功,去其三分之一,余为法。

又有二成,减其百分之三十,问余几何?答曰:十三分之五。

术曰:下有七分,以一为二千五百二十,半为壹仟二百六十,75%为八 百四十,75%为第六百货三十,伍分之一为五百四,七分之一为四百二十,七分之一为三百六十,百分之十六为三百一十五,九分一为二百八十,并之,得八千一百二十九,感到法。置田二百四十步,亦以一为二千五百二十乘之,为实。实 如法得从步。

〔“去其百分之七十五”者,谓以四乘,五除也。〕 以沟积尺为实,实如法而一,得用徒人数。

○减分 〔淳风等按:诸分子、母数各不相同,以少减多,欲知余几,减余为实,故曰 减分。〕 术曰:母互乘子,以少减多,余为实。母相乘为法。实如法而一。

今有天口骈一步半、七分步之一、陆分步之一、四分步之一、伍分步之一、七分步之一、九分步之一、七分步之一、十三分步之一。求田一亩、问从几何?答曰: 八十一步八千三百八十一分步之四千九百三十九。

〔按:此术“置本人功,去其四分三”者,谓以四乘之,五而一,除去出 土之功,取其定功。乃通分内子以为法。以分母乘沟积尺为实者,法里有分,实 里通之,故实如法而一,即用徒人数。此以壹个人之积尺除其众尺,故用徒人数。

〔母互乘子知,以齐其子也。以少减多知,齐故可相减也。母相乘为法者, 同其母也。母同子齐,故如母而一,即得。〕 今有九分之五,二十七分之十六,问孰多?多几何?答曰:二十五分之十六 多,多二百分之三。

术曰:下有一十三分,以一为二千五百二十,半为一千二百六十,十分二为 八百四十,30%为第六百货三十,百分之七十五为五百四,八分之一为四百二十,七分之一为三百六十,陆分之一为三百一十五,九分一为二百八十,一成为 二百五十二,并之,得7000三百八十一,感到法。置田二百四十步,亦以一为二 千五百二十乘之,为实。实如法得从步。

不尽者,等数约之而命分也。〕 今有堑,上海人民广播广播台一丈六尺三寸,下广一丈,深六尺三寸,袤一十三丈二尺一寸。

又有柒分之八,八分之六,问孰多?多几何?答曰:八分之八多,多六十57%。

今有田广一步半、七分步之一、五分之步一、伍分步之一、陆分步之一、九分步之一、八分步之一、七分步之一、拾贰分步之一、十分步之一。求田一亩, 问从几何?答曰:七十九步七千0两千七百一十三分步之10000八千第六百货三十一。

问积几何?答曰:贰万九百四十三尺八寸。

又有二十分之八,肆二十分之十七,问孰多?多几何?答曰:二十分之八 多,多1000四十几分之四十三。

术曰:下有一拾分,以一为一万九千七百二十,半为一万3000八百六十, 三分之一为九千二百四十,四分之三为6000九百三十,伍分之一为四千五百四十 四,百分之十二为6000第六百货二十,14.29%为3000九百六十,七分一为3000四百 六十五,16.67%为三千八十,一一成为二千七百七十二,一十二分之一为 二千五百二十,并之,得玖仟03000七百一十一,认为法。置田二百四十步,亦以 一为10000八千七百二十乘之,为实。实如法得从步。

〔八寸者,谓穿地平方英尺,深八寸。此积余有方尺中二分四厘五毫,弃之。文 欲从易,非其常定也。〕 夏程人功八百七十一尺,并出土功75%,沙砾水石之功作太半,定功二 百三十二尺一十陆分尺之四。问用徒几何?答曰:四十五个人三千四百捌十四分人 之四百九。

○课分 〔淳风等按:分各异名,理不齐一,较其周围之数,故曰课分也。〕 术曰:母互乘子,以少减多,余为实。母相乘为法。实如法而一,即相多也。

今有田骈一步半、四分步之一、陆分步之一,四分步之一、伍分步之一、柒分步之一、八分步之一、七分步之一、十二分步之一、十二分步之一、十二分步之 一。求田一亩,问从几何?答曰:七十七步800006000拾九分步之两千0八千一百八十三。

术曰:置自个儿功,去其出土功五分二,又去沙砾水石之功太半,余为法。

〔淳风等按:此术母互乘子,以少分减多分,与减分义同;惟相多之数,意 与减分有异:减分知,求别的数有几;课分知,以另外数相多也。〕 今有三成,50%,百分之六十。问减多益少,各几何而平?答曰:减 30%者二,半数者一,并,以益百分之四十,而各平于十三分之七。

术曰:下有一十二分,以一为八千0两千一百六十,半为陆仟0一千五百八十, 五分之二为一万八千七百二十,百分之三十三为20000七百九十,四成为两千0陆仟第六百货三十二,陆分一为一万2000八百六十,百分之十一为三千0一千八百八十,百分之十六为贰万第三百货九十五,七分一为七千二百四十,一百分之十为7000三百一 十六,十三分之一为九千五百六十,十五成为5000九百三十,并之,得二十 伍万7000六十三,感觉法。置田二百四十步,亦以一为八万两千一百六十乘之, 为实。实如法得从步。

以堑积尺为实。实如法而一,即用徒人数。

又有二分一,57%,十分二。问减多益少,各几何而平?答曰:减 伍分叁者一,33.33%者四、并,以益二分一,而各平于三二十分之二十三。

〔淳风等按:凡为术之意,约省为善。宜云“下有一十分,以一为一万8000七百二十,半为两万三千八百六十,十分之四为八千二百四十,二成为5000九百三十,四分一为伍仟五百四十四,陆分之一为六千第六百货二十,七分之一为3000九百六十,柒分之一为3000四百六十五,陆分一为3000八十,十分一为二千七百七十二,十三分之一为二千五百二十,十一半为二千三百一十, 并之,得100000陆仟二十一,以为法。置田二百四十步,亦以一为二万九千七百二 十乘之,以为实。实如法得从步。”其术亦得知,不繁也。〕 今有积四万5000二百二十五步,问为方几何?答曰:二百三十五步。

〔按:此术“置本身功,去其出土功三分之一”者,谓以四乘,五除。“又 去沙砾水石作太半”者,一乘,三除,存其少半,取其定功。乃通分内子认为法。

○平分 〔淳风等按:平分知,诸分参差,欲令齐等,减彼之多,增此之少,故曰平 分也。〕 术曰:母互乘子, 〔齐其子也。〕 副并为平实。

又有积两千0四千二百八十一步,问为方几何?答曰:一百五十九步。

以分母乘堑积尺为实者,为法里有分,实里通之,故实如法而一,即用徒人数。

〔淳风等按:母互乘子,副并为平实知,定此平实主限,众子所当利润或亏空知, 限为平。〕 母相乘为法。

又有积70000一千八百二十四步,问为方几何?答曰:二百六十八步。

不尽者,等数约之而命分也。〕 今有穿渠,上广一丈八尺,下广三尺六寸,深一丈八尺,袤四万一千八百二 十四尺。问积几何?答曰:一千700005000五百八十五尺六寸。

〔母相乘为法知,亦齐其子,又同其母。〕 以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法。

又有积五十70000四千七百五十二步陆分步之一,问为方几何?答曰:七百五 十一步半。

秋程人功三百尺,问用徒几何?答曰:一万三千五百八十一位,功内少一十 四尺四寸。

〔此当副置列数除平实,若然而重有分,故反以列数乘同齐。

又有积三十九亿8000二百一十伍仟0第六百货二十五步,问为方几何?答曰:700002000二十五步。

一千人先到,问当受袤几何?答曰:一百五十四丈三尺二寸捌十分寸之八。

淳风等按:问云所平之分多少不定,或三或二,列位无常。平三知,置位三 重;平二知,置位二重。凡此之例,一准平分不可豫定多少,故直云列数而已。〕 以诚实减列实,余,约之为所减。并所减以益于少。以法命平实,各得其平。

○开药方 〔求方幂之一面也。〕 术曰:置积为实。借一算,步之,超一等。

术曰:以一位功尺数乘先到人口为实。

今有八位,分八钱伍分钱之一。问人得几何?答曰:人得一钱二十二分钱之 四。

〔言百之面十也。言万之面百也。〕 议所得,以一乘所借一算为法,而以除。

〔以1000人17日功为实。立实为功。〕 并渠上下广而半之,以深乘之,为法。

又有四人伍分人之一,分六钱四分钱之一、伍分钱之三。问人得几何?答曰: 人得二钱捌分钱之一。

〔先得黄甲之面,上下相命,是自乘而除也。〕 除已,倍法为定法。

〔以渠广深之立实为法。〕 实如法得袤尺。

○经分 〔淳风等按:经分者,自合分已下,皆与诸分相齐,此乃直求壹人之分。以 人数分所分,故曰经分也。〕 术曰:以食指为法,钱数为实,实如法而一。有分者通之。

〔倍之者,豫张两面朱幂定袤,以待复除,故曰定法。〕 其复除,折法而下。

今有方堡壔, 〔堡者,堡城也;壔,音丁老反,又音纛,谓以土拥木也。〕 方一丈六尺,高级中学一年级丈五尺。问积几何?答曰:三千八百四十尺。

〔母互乘子知,齐其子;母相乘者,同其母。以母通之者,分母乘全内子。

〔欲除朱幂者,本当副置所得成方,倍之为定法,以折、议、乘,而以除。

术曰:方自乘,以高乘之,即积尺。

乘,散全则为积分,积分则与子相通,故可令相从。凡数相与者谓之率。率知, 自相与通。有分则可散,分重叠则约也;等除法实,相与率也。故散分者,必令 四分母相乘法实也。〕 重有分者同而通之。

如是当复步之而止,乃得相命。故使就上折下。〕 复置借算,步之如初。以复议一乘之, 〔欲除朱幂之角黄乙之幂,其意如初之所得也。〕 所得副以加定法,以除。以所得副从定法。

今有圆堡瑽,礼拜二丈八尺,高级中学一年级丈一尺。问积几何?答曰:二千一百一十二 尺。

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