故曰少广,徽寻九数有重差之名

日期:2019-09-30编辑作者:文学资讯

昔在庖犠氏始画八卦,以通神明之德,以类万物之情,作九九之数,以合六 爻之变。暨于黄帝神而化之,引而伸之,于是建历纪,协律吕,用稽道原,然后 两仪四象精微之气可得而效焉。记称隶首作数,其详未之闻也。按周公制礼而有 九数,九数之流,则《九章》是矣。往者暴秦焚书,经术散坏。自时厥后,汉北 平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残,各称删补。故 校其目则与古或异,而所论者多近语也。徽幼习 《九章》,长再详览。观陰陽之 割裂,总算术之根源,探赜之暇,遂悟其意。是以敢竭顽鲁,采其所见,为之作 注。事类相推,各有攸归,故枝条虽分而同本榦知,发其一端而已。又所析理以 辞,解体用图,庶亦约而能周,通而不黩,览之者思过半矣。且算在六艺,古者 以宾兴贤能,教习 国子;虽曰九数,其能穷纤入微,探测无方;至于以法相传, 亦犹规矩度量可得而共,非特难为也。当今好之者寡,故世虽多通才达学,而未 必能综于此耳。《周官·大司徒》职,夏至日中立八尺之表。其景尺有五寸,谓 之地中。说云,南戴日下万五千里。夫云尔者,以术推之。案:《九章》立四表 望远及因木望山之术,皆端旁互见,无有超邈若斯之类。然则苍等为术犹未足以 博尽群数也。徽寻九数有重差之名,原其指趣乃所以施于此也。凡望极高、测绝 深而兼知其远者必用重差、句股,则必以重差为率,故曰重差也。立两表于洛陽 之城,令高八尺,南北各尽平地。同日度其正中之时。以景差为法,表高乘表间 为实,实如法而一。所得加表高,即日去地也。以南表之景乘表间为实,实如法 而一,即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为句、股,为之求弦,即 日去人也。以径寸之筒南望日,日满筒空,则定筒之长短以为股率,以筒径为句 率,日去人之数为大股,大股之句即日径也。虽夫圆穹之象犹曰可度,又况泰山 之高与江 海之广哉。徽以为今之史籍且略举天地之物,考论厥数,载之于志,以 阐世术之美,辄造《重差》,并为注解,以究古人之意,缀于句股之下。度高者 重表,测深者累矩,孤离者三望,离而又旁求者四望。触类而长之,则虽幽遐诡 伏,靡所不入,博物君子,详而览焉。

○少广 少广 〔淳风等按:一亩之田,广一步,长二百四十步。今欲截取其从少,以益其 广,故曰少广。〕 术曰:置全步及分母子,以最下分母遍乘诸分子及全步, 〔淳风等按:以分母乘全步者,通其分也;以母乘子者,齐其子也。〕 各以其母除其子,置之于左,命通分者,又以分母遍乘诸分子及已通者,皆 通而同之。并之为法。

○商功 今有穿地,积一万尺。问为坚、壤各几何?答曰:为坚七千五百尺;为壤一 万二千五百尺。

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〔淳风等按:诸子悉通,故可并之为法。亦宜用合分术,列数尤多,若用乘 则算数至繁,故别制此术,从省约。〕 置所求步数,以全步积分乘之为实。

术曰:穿地四为壤五, 〔壤谓息土。〕 为坚三, 〔坚谓筑土。〕 为墟四。

〔此以田广为法,以亩积步为实。法有分者,当同其母,齐其子,以同乘法 实,而并齐于法。今以分母乘全步及子,子如母而一,并以并全法,则法实俱长, 意亦等也。故如法而一,得从步数。〕 实如法而一,得从步。

〔墟谓穿坑。此皆其常率。〕 以穿地求壤,五之;求坚,三之;皆四而一。

今有田广一步半。求田一亩,问从几何?答曰:一百六十步。

〔今有术也。〕 以壤求穿,四之;求坚,三之;皆五而一。以坚求穿,四之;求壤,五之; 皆三而一。

术曰:下有半,是二分之一。以一为二,半为一,并之,得三,为法。置田 二百四十步,亦以一为二乘之,为实。实如法得从步。

〔淳风等按:此术并今有之义也。重张穿地积一万尺,为所有数,坚率三、 壤率五各为所求率,穿率四为所有率,而今有之,即得。〕 城、垣、堤、沟、堑、渠皆同术。

今有田广一步半、三分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:一百三十步一 十一分步之一十。

术曰:并上下广而半之, 〔损广补狭。〕 以高若深乘之,又以袤乘之,即积尺。

术曰:下有三分,以一为六,半为三,三分之一为二,并之,得一十一,为 法。置田二百四十步,亦以一为六乘之,为实。实如法得从步。

〔按:此术“并上下广而半之”者,以盈补虚,得中平之广。“以高若深乘 之”,得一头之立幂。“又以袤乘之”者,得立实之积,故为积尺。〕 今有穿地,袤一丈六尺,深一丈,上广六尺,为垣积五百七十六尺。问穿地 下广几何?答曰:三尺五分尺之三。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一。求田一亩,问从几何?答曰: 一百一十五步五分步之一。

术曰:置垣积尺,四之为实。

术曰:下有四分,以一为一十二,半为六,三分之一为四,四分之一为三, 并之,得二十五,以为法。置田二百四十步,亦以一为一十二乘之,为实。实如 法而一,得从步。

〔穿地四,为坚三。垣,坚也。以坚求穿地,当四之,三而一也。〕 以深、袤相乘, 〔为深、袤之立实也。〕 又三之,为法。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一亩,问从 几何?答曰:一百五步一百三十七分步之一十五。

〔以深、袤乘之立实除垣积,即坑广。又三之者,与坚率并除之。〕 所得,倍之。

术曰:下有五分,以一为六十,半为三十,三分之一为二十,四分之一为一 十五,五分之一为一十二,并之,得一百三十七,以为法。置田二百四十步,亦 以一为六十乘之,为实。实如法得从步。

〔为坑有两广,先并而半之,即为广狭之中平。今先得其中平,故又倍之知, 两广全也。〕 减上广,余即下广。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求 田一亩,问从几何?答曰:九十七步四十九分步之四十七。

〔按:此术穿地四,为坚三。垣即坚也。今以坚求穿地,当四乘之,三而一。

术曰:下有六分,以一为一百二十,半为六十,三分之一为四十,四分之一 为三十,五分之一为二十四,六分之一为二十,并之,得二百九十四,以为法。

深、袤相乘者,为深袤立幂。以深袤立幂除积,即坑广。又三之,为法,与坚率 并除。所得,倍之者,为坑有两广,先并而半之,为中平之广。今此得中平之广, 故倍之还为两广并。故减上广,余即下广也。〕 今有城下广四丈,上广二丈,高五丈,袤一百二十六丈五尺。问积几何?答 曰:一百八十九万七千五百尺: 今有垣下广三尺,上广二尺,高一丈二尺,袤二十二丈五尺八寸。问积几何? 答曰:六千七百七十四尺。

置田二百四十步,亦以一为一百二十乘之,为实。实如法得从步。

今有堤下广二丈,上广八尺,高四尺,袤一十二丈七尺。问积几何?答曰: 七千一百一十二尺。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:九十二步一百二十一分步之六十八。

冬程人功四百四十四尺,问用徒几何?答曰:一十六人二百一十一分人之二。

术曰:下有七分,以一为四百二十,半为二百一十,三分之一为一百四十, 四分之一为一百五,五分之一为八十四,六分之一为七十,七分之一为六十,并 之,得一千八十九,以为法。置田二百四十步,亦以一为四百二十乘之,为实。

术曰:以积尺为实,程功尺数为法,实如法而一,即用徒人数。

实如法得从步。

今有沟,上广一丈五尺,下广一丈,深五尺,袤七丈。问积几何?答曰:四 千三百七十五尺。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:八十八步七百六十一分步 之二百三十二。

春程人功七百六十六尺,并出土功五分之一,定功六百一十二尺五分尺之四。

术曰:下有八分,以一为八百四十,半为四百二十,三分之一为二百八十, 四分之一为二百一十,五分之一为一百六十八,六分之一为一百四十,七分之一 为一百二十,八分之一为一百五,并之,得二千二百八十三,以为法。置田二百 四十步,亦以一为八百四十乘之,为实。实如法得从步。

问用徒几何?答曰:七人三千六十四分人之四百二十七。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一亩,问从几何?答曰:八十四步七 千一百二十九分步之五千九百六十四。

术曰:置本人功,去其五分之一,余为法。

术曰:下有九分,以一为二千五百二十,半为一千二百六十,三分之一为八 百四十,四分之一为六百三十,五分之一为五百四,六分之一为四百二十,七分 之一为三百六十,八分之一为三百一十五,九分之一为二百八十,并之,得七千 一百二十九,以为法。置田二百四十步,亦以一为二千五百二十乘之,为实。实 如法得从步。

〔“去其五分之一”者,谓以四乘,五除也。〕 以沟积尺为实,实如法而一,得用徒人数。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一亩、问从几何?答曰: 八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九。

〔按:此术“置本人功,去其五分之一”者,谓以四乘之,五而一,除去出 土之功,取其定功。乃通分内子以为法。以分母乘沟积尺为实者,法里有分,实 里通之,故实如法而一,即用徒人数。此以一人之积尺除其众尺,故用徒人数。

术曰:下有一十分,以一为二千五百二十,半为一千二百六十,三分之一为 八百四十,四分之一为六百三十,五分之一为五百四,六分之一为四百二十,七 分之一为三百六十,八分之一为三百一十五,九分之一为二百八十,十分之一为 二百五十二,并之,得七千三百八十一,以为法。置田二百四十步,亦以一为二 千五百二十乘之,为实。实如法得从步。

不尽者,等数约之而命分也。〕 今有堑,上广一丈六尺三寸,下广一丈,深六尺三寸,袤一十三丈二尺一寸。

今有田广一步半、三分步之一、四分之步一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一亩, 问从几何?答曰:七十九步八万三千七百一十一分步之三万九千六百三十一。

问积几何?答曰:一万九百四十三尺八寸。

术曰:下有一十一分,以一为二万七千七百二十,半为一万三千八百六十, 三分之一为九千二百四十,四分之一为六千九百三十,五分之一为五千五百四十 四,六分之一为四千六百二十,七分之一为三千九百六十,八分之一为三千四百 六十五,九分之一为三千八十,一十分之一为二千七百七十二,一十一分之一为 二千五百二十,并之,得八万三千七百一十一,以为法。置田二百四十步,亦以 一为二万七千七百二十乘之,为实。实如法得从步。

〔八寸者,谓穿地方尺,深八寸。此积余有方尺中二分四厘五毫,弃之。文 欲从易,非其常定也。〕 夏程人功八百七十一尺,并出土功五分之一,沙砾水石之功作太半,定功二 百三十二尺一十五分尺之四。问用徒几何?答曰:四十七人三千四百八十四分人 之四百九。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一,五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之 一。求田一亩,问从几何?答曰:七十七步八万六千二十一分步之二万九千一百 八十三。

术曰:置本人功,去其出土功五分之一,又去沙砾水石之功太半,余为法。

术曰:下有一十二分,以一为八万三千一百六十,半为四万一千五百八十, 三分之一为二万七千七百二十,四分之一为二万七百九十,五分之一为一万六千 六百三十二,六分之一为一万三千八百六十,七分之一为一万一千八百八十,八 分之一为一万三百九十五,九分之一为九千二百四十,一十分之一为八千三百一 十六,十一分之一为七千五百六十,十二分之一为六千九百三十,并之,得二十 五万八千六十三,以为法。置田二百四十步,亦以一为八万三千一百六十乘之, 为实。实如法得从步。

以堑积尺为实。实如法而一,即用徒人数。

〔淳风等按:凡为术之意,约省为善。宜云“下有一十二分,以一为二万七 千七百二十,半为一万三千八百六十,三分之一为九千二百四十,四分之一为六 千九百三十,五分之一为五千五百四十四,六分之一为四千六百二十,七分之一 为三千九百六十,八分之一为三千四百六十五,九分之一为三千八十,十分之一 为二千七百七十二,十一分之一为二千五百二十,十二分之一为二千三百一十, 并之,得八万六千二十一,以为法。置田二百四十步,亦以一为二万七千七百二 十乘之,以为实。实如法得从步。”其术亦得知,不繁也。〕 今有积五万五千二百二十五步,问为方几何?答曰:二百三十五步。

〔按:此术“置本人功,去其出土功五分之一”者,谓以四乘,五除。“又 去沙砾水石作太半”者,一乘,三除,存其少半,取其定功。乃通分内子以为法。

又有积二万五千二百八十一步,问为方几何?答曰:一百五十九步。

以分母乘堑积尺为实者,为法里有分,实里通之,故实如法而一,即用徒人数。

又有积七万一千八百二十四步,问为方几何?答曰:二百六十八步。

不尽者,等数约之而命分也。〕 今有穿渠,上广一丈八尺,下广三尺六寸,深一丈八尺,袤五万一千八百二 十四尺。问积几何?答曰:一千七万四千五百八十五尺六寸。

又有积五十六万四千七百五十二步四分步之一,问为方几何?答曰:七百五 十一步半。

秋程人功三百尺,问用徒几何?答曰:三万三千五百八十二人,功内少一十 四尺四寸。

又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步,问为方几何?答曰:六万 三千二十五步。

一千人先到,问当受袤几何?答曰:一百五十四丈三尺二寸八十一分寸之八。

○开方 〔求方幂之一面也。〕 术曰:置积为实。借一算,步之,超一等。

术曰:以一人功尺数乘先到人数为实。

〔言百之面十也。言万之面百也。〕 议所得,以一乘所借一算为法,而以除。

〔以一千人一日功为实。立实为功。〕 并渠上下广而半之,以深乘之,为法。

〔先得黄甲之面,上下相命,是自乘而除也。〕 除已,倍法为定法。

〔以渠广深之立实为法。〕 实如法得袤尺。

〔倍之者,豫张两面朱幂定袤,以待复除,故曰定法。〕 其复除,折法而下。

今有方堡壔, 〔堡者,堡城也;壔,音丁老反,又音纛,谓以土拥木也。〕 方一丈六尺,高一丈五尺。问积几何?答曰:三千八百四十尺。

〔欲除朱幂者,本当副置所得成方,倍之为定法,以折、议、乘,而以除。

术曰:方自乘,以高乘之,即积尺。

如是当复步之而止,乃得相命。故使就上折下。〕 复置借算,步之如初。以复议一乘之, 〔欲除朱幂之角黄乙之幂,其意如初之所得也。〕 所得副以加定法,以除。以所得副从定法。

今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺。问积几何?答曰:二千一百一十二 尺。

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